Question

17．已知双曲线与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$有相同的焦点F₁，F₂，P为它们的一个交点，且${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义，求出几何量，即可得出双曲线方程．

解答 解：由题意|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|²+|PF₂|²=12，
∴|PF₁||PF₂|=2，
∴||PF₁|-|PF₂||=2$\sqrt{2}$，
∴$a=\sqrt{2}$，∴b=1，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．
故答案为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．

点评 本题考查双曲线方程，考查椭圆、双曲线的定义，属于中档题．