Question

点M为双曲线

x2

16

-

y2

4

=1上任意一点，定点A（0，2），点P在线段AM上，且|AP|=

1

2

|PM|，试求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），M（x₀，y₀），A（0，2），

AP

=（x，y-2），

PM

=（x₀-x，y₀-y），根据向量的坐标，求出

x0=3x y0=3y-4

，代入双曲线的方程即可．

解答： 解：∵点M为双曲线

x2

16

-

y2

4

=1上任意一点，
∴

x 2 0

16

-

y 2 0

4

=1，
∵点P在线段AM上，且|AP|=

1

2

|PM|，
∴2

AP

=

PM

，
即

2x=x0-x 2y-4=y0-y

，
∴

9x2

16

-

(3y-4)2

4

=1，
点P的轨迹方程：

9x2

16

-

(3y-4)2

4

=1．

点评：本题考察了相关点代入法求解轨迹方程，属于中档题，运用了向量的坐标，有点综合．