Question

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．

(Ⅰ)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在四棱锥P－ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60° 　　在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，于是，PO＝ 　　以O为坐标原点，射线OB、OC、 　　OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 　　在Rt△AOB中OA＝，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A(0，－，0)，B(1，0，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)． 　　E是PB的中点，则E(，0，) 　　于是＝(，0，)，＝(0，，) 　　设的夹角为，有cos＝ 　　∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为； 　　(2)计算平面APB的一个法向量为， 　　而平面PBD的一个法向量为， 　　故二面角A－PB－D的余弦值为．