Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=1，AB=2．
（1）求证：MN∥面ADD₁A₁；
（2）求MN与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求三棱锥P-DEN的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线面平行，从而可得面面平行，即可证明MN∥面ADD₁A₁；
（2）确定MN与平面ABCD所成角，再利用三角函数，即可求得角的正切值；
（3）利用转换底面方法，即可求三棱锥P-DEN的体积．

解答：（1）证明：取CD的中点K，连结MK、NK
∵M、N、K分别为AK、CD₁、CD的中点
∴MK∥AD，NK∥DD₁
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∴面MNK∥面ADD₁A₁
∴MN∥面ADD₁A₁…（4分）
（2）解：由（1）知∠NMK是直线MN与平面ABCD所成的角…（5分）
∵NK=

1

2

，MK=

1+ 1 2

2

=

3

4

∴tan∠NMK=

NK

MK

=

2

3

…（8分）
（3）S△NEP=

1

2

S矩形ECD1P=

1

4

BC•CD1=

1

4

•a•

a2+4a2

=

5

4

a2
作DQ⊥CD₁交CD₁于Q，由A₁D₁⊥面CDD₁C₁得，A₁C₁⊥DQ
∴DQ⊥面BCD₁A₁
∴在Rt△CDD₁中，DQ=

CD•DD1

CD1

=

2a•a

5 a

=

2

5

a
∴VP-DEN=VD-ENP=

1

3

S△NEP•DQ=

1

3

•

5

4

a2•

2

5

a=

a3

6

…（14分）

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查面面平行，考查线面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．