Question

已知点是抛物线上不同的两点，点在抛物线的准线上，且焦点
到直线的距离为.
(I）求抛物线的方程；
（2）现给出以下三个论断：①直线过焦点；②直线过原点；③直线平行轴．
请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.

Answer 1

（1） ；（2）参考解析

试题分析：（1）由点F到直线的距离为可求得抛物线中.从而得到抛物线方程.
（2）根据题意共有三种情况：i) ①直线过焦点；②直线过原点.由直线AB与抛物线的方程联立结合韦达定理，表示出点D,B的坐标即可得到③直线平行轴.ii) ①直线过焦点;③直线平行轴同样是表达出点D,B的坐标即可得到点A,O,D三点共线，即可得到结论.iii) ②直线过原点；③直线平行轴表达出点A,B的坐标关系即可得到点A,F,B三点共线，即得到结论.
（I）因为， 依题意得,             2分
解得，所以抛物线的方程为                       4分
（2）①命题：若直线过焦点，且直线过原点，则直线平行轴.
5分
设直线的方程为，，                  6分
由 得，
，                                            8分
直线的方程为，                                9分
所以点的坐标为，
，                            12分
直线平行于轴．                               13分
②命题：若直线过焦点，且直线平行轴，则直线过原点.
5分
设直线的方程为，，               6分
由 得，
，                                          8分
即点的坐标为，                              9分
∵直线平行轴，∴点的坐标为，                10分
∴，，
由于，
∴∥，即三点共线，                     12分
∴直线过原点．                              13分
③命题：若直线过原点，且直线平行轴，则直线过焦点.       5分
设直线的方程为，则点的坐标为，           6分
∵直线平行轴，
∴，∴，即点的坐标为，                 8分
由得，
∴即点的坐标为，                    10分
∴，
由于，
∴∥，即三点共线，                          12分
∴直线过焦点．                                13分