题目内容
如图所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝
，斜率为2的直线l过点A(2,3)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
，斜率为2的直线l过点A(2,3)．(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
（1）
＝1
（2）不存在，见解析
＝1（2）不存在，见解析
解：(1)设椭圆E的方程为
＝1(a＞b＞0)，
由题意e＝
＝，
＝1，
又∵c2＝a2－b2，
解得：c＝2，a＝4，b＝2
，
∴椭圆E的方程为＝1．
(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0)．
∵PQ⊥l，
∴kPQ＝
＝－，
又∵
两式相减得：
．
∴
＝－
＝－
×(－)＝
，
即
＝，③
又∵R(x0，y0)在直线l上，
∴y0＝2x0－1，④
由③④解得：x0＝2，y0＝3，
所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾，
故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点．
＝1(a＞b＞0)，由题意e＝
＝，＝1，又∵c2＝a2－b2，
解得：c＝2，a＝4，b＝2
，∴椭圆E的方程为
＝1．(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0)．
∵PQ⊥l，
∴kPQ＝
＝－，又∵
两式相减得：
．∴
＝－＝－×(－)＝，即
＝，③又∵R(x0，y0)在直线l上，
∴y0＝2x0－1，④
由③④解得：x0＝2，y0＝3，
所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾，
故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点．
练习册系列答案
相关题目
经过点
，离心率为
，左右焦点分别为
.
与椭圆交于
两点，与以
为直径的圆交于
两点，且满足
，求直线
的方程.
是抛物线
上不同的两点，点
在抛物线
的准线
上，且焦点
到直线
的距离为
.
过焦点
过原点
；③直线
平行
轴．
：
的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
的直线
与椭圆
，
，是否存在直线
与△
的面积比值为
？若存在，求出直线
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆
+
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
x
的一条渐近线与圆
至多有一个交点，则双曲线离心
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.