Question

7．已知由整数组成的数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且a₁=a，2S_n=a_na_n+1．
（1）求a₂的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）若n=15时，S_n取得最小值，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得2a₁=a₁a₂，由此能求出a₂=2．
（2）由2S_n=a_na_n+1，得2S_n-1=a_n-1a_n，n≥2，从而a_n+1-a_n-1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出{a_n}的通项公式．
（3）由（2）得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n+a-1）（n+1），n为奇数}\\{\frac{1}{2}n（n+a），n为偶数}\end{array}\right.$，从而S₁₅为最小值等价于S₁₃≥S₁₅，S₁₅≤S₁₇，由此结合已知条件能求出a的值．

解答 解：（1）∵2S_n=a_na_n+1，
∴2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，
∵a₁=a≠0，
∴a₂=2．
（2）∵2S_n=a_na_n+1，∴2S_n-1=a_n-1a_n，n≥2，
两式相减，得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴{a_2k-1}，{a_2k}都是公差为2的等差数列，
当n=2k-1，k∈N^*时，a_n=a₁+（k-1）×2=a+n-1，
当n=2k，k∈N^*时，a_n=2+（k-1）×2=2k=n．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$．
（3）∵2S_n=a_na_n+1，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n为奇数}\\{n，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n+a-1）（n+1），n为奇数}\\{\frac{1}{2}n（n+a），n为偶数}\end{array}\right.$，
∵所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，
∴当n为偶数时，a_n＞0，∴此时S_n＞S_n-1，
∴S₁₅为最小值等价于S₁₃≥S₁₅，S₁₅≤S₁₇，
∴a₁₄+a₁₅≤0，a₁₆+a₁₇≥0，
∴14+15+a-1≤0，16+17+a-1≥0，
解得-32≤a≤-28，
∵数列{a_n}是由整数组成的，∴a∈{-32，-31，-30，-29，-28}，
∵a≠0，∴对所有的奇数n，a_n=n+a-1≠0，
∴a不能取偶数，∴a=-31，或a=-29．

点评 本题考查数列的第二项的值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列的前15项和取得最小值的实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．