Question

已知函数f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈N）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求函数f（x）的解析式；   
（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过f（x）是奇函数得到c=0，再根据f（1）=2，f（2）＜3，得不等式组，解出即可；
（2）由（1）得到函数的解析式，设0＜x₁＜x₂＜1，作差得到f（x₁）＞f（x₂），从而得到函数的单调性．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈N）是奇函数，
∴f（-x）=

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx-c

=-f（x），∴c=0，
由f（1）=2，得a+1=2b①由f（2）＜3，得

4a+1

2b

＜3②
由①②得

4a+1

a+1

＜3③变形可得（a+1）（a-2）＜0，
解得-1＜a＜2，又a∈Z，∴a=0或a=1，
若a=0，则b=

1

2

，与b∈Z矛盾，若a=1，则b=1，
故a=1，b=1，c=0，
∴f（x）=

x2+1

x

；
（2）f（x）在（0，1）上是减函数．
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（2x₂）=

x12+1

x1

-

x22+1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁ x₂-1＜0，x₁ x₂＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上是减函数．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的单调性问题，是一道中档题．