Question

2．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $-\sqrt{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 由椭圆的性质，求得椭圆方程，分类讨论，当直线AB的斜率存在，设AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式k_PA+k_PB=0，即可求得t的值．

解答 解：由题意可知c=1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
当直线AB斜率不存在时，t可以为任意非零实数，
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由∠APO=∠BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，
则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，整理得：2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，
∴2×$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（t+1）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+2t=0，
解得：t=2，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式与韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．