Question

11．证明：如果a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且a（1-2cosA）+b（1-2cosB）+c（1-2cosC）=0，那么△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 通过余弦定理将角的余弦值用三边表示出来，代入a（1-2cosA）+b（1-2cosB）+c（1-2cosC）=0，化简、配方计算即得结论．

解答 证明：由余弦定理可知cosA=$\frac{1}{2bc}$（b²+c²-a²），cosB=$\frac{1}{2ac}$（a²+c²-b²），cosC=$\frac{1}{2ab}$（a²+b²-c²），
又∵a（1-2cosA）+b（1-2cosB）+c（1-2cosC）=0，
∴a[1-2•$\frac{1}{2bc}$（b²+c²-a²）]+b[1-2•$\frac{1}{2ac}$（a²+c²-b²）]+c[1-2•$\frac{1}{2ab}$（a²+b²-c²）]=0，
两边同乘以abc，整理得：abc（a+b+c）+a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²=0，
变形得：[（a+b）²-c²]（a-b）²+[（a+c）²-b²]（a-c）²+[（b+c）²-a²]（b-c）²=0，
由a、b、c满足三边关系可知a-b=a-c=b-c=0，即a=b=c，
即三角形为等边三角形．

点评 本题考查等边三角形的证明，利用余弦定理是解决本题的关键，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．