Question

9．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若a与b的夹角为150°，求|$\overline{a}+2\overrightarrow{b}$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与b的夹角．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算可得；
（2）由向量垂直的条件：数量积为0，计算可得向量的夹角．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos150°=$\sqrt{3}$×2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-3，
即有|$\overline{a}+2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{3+4×4-12}$=$\sqrt{7}$；
（2）由$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{a}$，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即为$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
即有3=2$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，
即为cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于中档题．