Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n及使得S_n最大的序号n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等数数列的首项、公差，然后结合已知条件列出方程组解之即可；
（2）将S_n表示出来，是一个关于n的二次函数，然后利用配方法求其最大值，注意n是N^*．

解答： 解：（1）因为a₄，a₅，a₈成等比数列，所以a52=a4a8．
设等差数列{a_n}的公差为d，则(a2+3d)2=(a2+2d)(a2+6d)，
因为a₂=3，所以d²+2d=0．
又因为d≠0，所以d=-2．
所以a_n=-2n+7．
（2）由（1）知，a₁=5，d=-2．
所以Sn=na1+

n(n-1)

2

d=6n-n²．
因为Sn=-(n-3)2+9．（n∈N^*）
故当n=3时，S_n取得最大值9．
故所求的和S_n的最大值为9．

点评：（1）突出基本量的思想，即用首项、公差表示出题目已给的条件，列方程（组）求解；
（2）将前n项和表示成n的函数，利用函数的性质（单调性等，或配方法）求其最值，注意n的取值为正整数．