Question

18．直线$\sqrt{3}$x+3y-k=0与圆C：（x-2）²+（y-3）²=4相交于A、B两，当扇形ABC的面积大于等于$\frac{2π}{3}$时，k的取值区间长度为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 6
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 利用扇形ABC的面积大于等于$\frac{2π}{3}$，求出∠ACB=α≥$\frac{π}{3}$，可得圆心到直线的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}+9-k|}{\sqrt{3+9}}$≤$\sqrt{3}$，即可求出k的取值区间长度

解答 解：∵扇形ABC的面积大于等于$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}×2×2×α$≥$\frac{2π}{3}$，
∴∠ACB=α≥$\frac{π}{3}$，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}+9-k|}{\sqrt{3+9}}$≤$\sqrt{3}$，
∴3-2$\sqrt{3}$≤k≤15-2$\sqrt{3}$，
∴k的取值区间长度为12．
故选：D．

点评 本题考查扇形面积的计算，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．