题目内容
函数f（x）=lg（x2+2x+
），x∈（0，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意义，试求实数a的取值范围．
| a |
| x |
考点：利用导数研究函数的单调性,对数函数的值域与最值
专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用
分析：根据对数函数的性质建立不等式关系，利用参数恒成立的关系，即可得到结论．
解答：
解：∵f（x）=lg（x2+2x+
），x∈（0，+∞），
∴若对任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意义，
则x2+2x+
＞0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a＞-x3-2x2在x∈[1，+∞）上恒成立，
设g（x）=-x3-2x2，则g'（x）=-3x2-4x=-3x（x+
），
则当x∈[1，+∞）时，g'（x）=-3x2-4x=-3x（x+
）＜0恒成立，
即函数在[1，+∞）上单调递减，
∴g（x）的最大值为g（1）=-1-2=-3，
∴a＞-3．
| a |
| x |
∴若对任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意义，
则x2+2x+
| a |
| x |
即a＞-x3-2x2在x∈[1，+∞）上恒成立，
设g（x）=-x3-2x2，则g'（x）=-3x2-4x=-3x（x+
| 4 |
| 3 |
则当x∈[1，+∞）时，g'（x）=-3x2-4x=-3x（x+
| 4 |
| 3 |
即函数在[1，+∞）上单调递减，
∴g（x）的最大值为g（1）=-1-2=-3，
∴a＞-3．
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用对数函数的性质，根据函数单调性与导数之间的关系研究函数的单调性是解决的关键．
练习册系列答案
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设集合S={x|x2-5x-6＜0}，T={x||x+2|≤3}，则S∩T=（ ）
| A、{x|-5≤x＜-1} |
| B、{x|-5≤x＜5} |
| C、{x|-1＜x≤1} |
| D、{x|1≤x＜5} |
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左右顶点为A、B，P是椭圆C上不与A、B重合的任意一点，设∠PAB=α，∠PBA=β，则（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、sinα＜cosβ |
| B、sinα＞cosβ |
| C、sinα=cosβ |
| D、sinα与cosβ的大小不能确定 |