Question

5．函数$y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$在同一个周期内，当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值2，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-2．
（1）求函数的解析式y=f（x）．
（2）若x∈[0，2π]，且f（x）=$\sqrt{3}$时，求x的值；
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（1＜a＜2），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值可得A，再根据周期求得ω，再由五点法作图求得φ，可得函数的解析式．
（2）根据正弦函数的性质可得3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，问题得以解决，
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（1＜a＜2），则在[0，2π]内方程f（x）=a有6个根，即可求出答案

解答 解：（1）由函数的最值可得A=2，再根据$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$，求得ω=3．
再由五点法作图可得 3×$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$，故函数的解析式y=f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）∵x∈[0，2π]，且f（x）=$\sqrt{3}$时，
∴2sin（3x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，
∴3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{7π}{36}$或x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{11π}{36}$，
当k=0时，x=$\frac{7π}{36}$或$\frac{11π}{36}$，
当k=1时，x=$\frac{31π}{36}$或$\frac{35π}{36}$，
当k=2时，x=$\frac{55π}{36}$或$\frac{59π}{36}$，
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（1＜a＜2），
则在[0，2π]内方程f（x）=a有6个根，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{2}$，x₃+x₄=$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$π，x₅+x₆=$\frac{π}{2}$+$\frac{8}{3}$π，
∴和为$\frac{3π}{2}$+4π=$\frac{11}{2}$π．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题