题目内容

利用展开式（n∈N*）回答下列问题：
（Ⅰ）求（1+2x）10的展开式中x4的系数；
（Ⅱ）通过给a，b以适当的值，将下式化简：；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中化简后的结果作为an，求的值．
【答案】分析：（I）利用二项展开式的通项即可求解
（II）根据展开式的特点，考虑令a=1，b=-即可求解
（III）结合等比数列的求和公式即可求解
解答：（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）因为
所以，即（1+2x）10的展开式中x4的系数为3360．…（3分）
（Ⅱ）令a=1，，得．…（6分）
（Ⅲ）．…（8分）
点评：本题主要考查了二项展开式的通项在求指定项的应用及利用赋值法求解展开式的系数和，注意方法的灵活应用．
练习册系列答案
相关题目
（Ⅰ）设f（x）=（1+x）n，f（x）展开式中x2的系数是10，求n的值；
（Ⅱ）利用二项式定理证明：
n
k=1
(-1)k+1k
C
k
n
=0．
利用展开式(a+b)n=
C
0
n
an+
C
1
n
an-1b+
C
2
n
an-2b2+…+
C
r
n
an-rbr+…+
C
n
n
bn（n∈N*）回答下列问题：
（Ⅰ）求（1+2x）10的展开式中x4的系数；
（Ⅱ）通过给a，b以适当的值，将下式化简：
C
0
n
-
C
1
n
2
+
C
2
n
22
-…+(-1)n
C
n
n
2n
；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中化简后的结果作为an，求
8
n=1
an的值．
设代数方程a0-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根±x1，±x2，…，±xn，则a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-
x2
x
2
1
)(1-
x2
x
2
2
)•…•(1-
x2
x
2
n
)，比较两边x2的系数得a1=
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
（用a0•x1•x2•…•xn表示）；若已知展开式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…对x∈R，x≠0成立，则由于
sinx
x
=0有无穷多个根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22•π2
)•…•(1-
x2
n2π2
)•…，利用上述结论可得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
π2
6
．
从函数角度看，组合数
C
r
n
可看成是以r为自变量的函数f（r），其定义域是{r|r∈N，r≤n}．
（1）证明：f(r)=
n-r+1
r
f(r-1)；
（2）利用（1）的结论，证明：当n为偶数时，（a+b）n的展开式中最中间一项的二项式系数最大．

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