Question

从函数角度看，组合数

C

r n

可看成是以r为自变量的函数f（r），其定义域是{r|r∈N，r≤n}．
（1）证明：f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)；
（2）利用（1）的结论，证明：当n为偶数时，（a+b）ⁿ的展开式中最中间一项的二项式系数最大．

Answer 1

分析：（1）先根据组合数公式求出f（r）、f（r-1），计算

n-r+1

r

•f（r-1）的值，从而证得结论．
（2）设n=2k，k∈z，由（1）可得

f(r)

f(r-1)

=

2k-r+1

r

，令f（r）≥f（r-1），可得r≤k+

1

2

 （等号不成立）．故有当r=1，2，3…k时，f（r）＞f（r-1）成立；当r=k+1，k+2，k+33…2k时，f（r）＜f（r-1）成立．故f（k）=

C

k 2k

最大，从而证得结论．

解答：（1）证明：∵f（r）=

C

r n

=

n!

r!•(n-r)!

，而 f（r-1）=

C

r-1 n

=

n!

(r-1)!•(n-r+1)!

，
∴

n-r+1

r

•f（r-1）=

n-r+1

r

•

n!

(r-1)!•(n-r+1)!

=

n!

r!•(n-r)!

，
故f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)成立．
（2）证明：当n为偶数时，设n=2k，k∈z，∵f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)，f（r-1）＞0．
∴

f(r)

f(r-1)

=

2k-r+1

r

．
令f（r）≥f（r-1），可得

2k-r+1

r

≥1，∴r≤k+

1

2

 （等号不成立）．
∴当r=1，2，3…k时，f（r）＞f（r-1）成立；
反之，当r=k+1，k+2，k+3…2k时，f（r）＜f（r-1）成立．
故f（k）=

C

k 2k

最大，即（a+b）ⁿ的展开式中最中间一项的二项式系数最大．

点评：本题主要考查组合及组合数公式，二项式定理的应用以及二项式系数的性质，属于基础题．