Question

利用展开式(a+b)n=

C

0 n

an+

C

1 n

an-1b+

C

2 n

an-2b2+…+

C

r n

an-rbr+…+

C

n n

bn（n∈N^*）回答下列问题：
（Ⅰ）求（1+2x）¹⁰的展开式中x⁴的系数；
（Ⅱ）通过给a，b以适当的值，将下式化简：

C

0 n

-

C 1 n

2

+

C 2 n

22

-…+(-1)n

C n n

2n

；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中化简后的结果作为a_n，求

8

n=1

an的值．

Answer 1

分析：（I）利用二项展开式的通项即可求解
（II）根据展开式的特点，考虑令a=1，b=-

1

2

即可求解
（III）结合等比数列的求和公式即可求解

解答：（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）因为(1+2x)10=

C

0 10

110×(2x)0+

C

1 10

19×(2x)1+

C

2 10

18×(2x)2+…+

C

10 10

10×(2x)10
所以

C

4 10

16×(2x)4=3360x4，即（1+2x）¹⁰的展开式中x⁴的系数为3360．…（3分）
（Ⅱ）令a=1，b=-

1

2

，得

C

0 n

-

C 1 n

2

+

C 2 n

22

-…+(-1)n

C n n

2n

=(1-

1

2

)n=

1

2n

．…（6分）
（Ⅲ）

8

n=1

1

2n

=

1

2

+

1

22

+…+

1

28

=

255

256

．…（8分）

点评：本题主要考查了二项展开式的通项在求指定项的应用及利用赋值法求解展开式的系数和，注意方法的灵活应用．