Question

设代数方程a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n个不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，则a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-

x2

x 2 1

)(1-

x2

x 2 2

)•…•(1-

x2

x 2 n

)，比较两边x²的系数得a₁=

a0(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

)

（用a₀•x₁•x₂•…•x_n表示）；若已知展开式

sinx

x

=1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…对x∈R，x≠0成立，则由于

sinx

x

=0有无穷多个根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22•π2

)•…•(1-

x2

n2π2

)•…，利用上述结论可得1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

．

Answer 1

分析：代数方程a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n个不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，∴a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a₀(1-

1

x 2 1

)(1-

1

x 2 2

)…(1-

1

x 2 n

)，与条件比较两边x²的系数可以推得结论；由于

sinx

x

=0有对x∈R且x≠0恒成立，方程

sinx

x

有无究多个根：±π，±2π，…±nπ，…，则比较两边x²的系数可以推得结论．

解答：解：∵代数方程a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n个不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，
∴a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a₀(1-

1

x 2 1

)(1-

1

x 2 2

)…(1-

1

x 2 n

)
又a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-

x2

x 2 1

)(1-

x2

x 2 2

)•…•(1-

x2

x 2 n

)
比较两边x²的系数可以推得：a₁=a0(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

)
由1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22•π2

)•…•(1-

x2

n2π2

)•…
比较两边x²的系数可以推得：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

故答案为a₁=a0(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

)；1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

点评：本题考查的知识点是类比推理，其中由已知根据方程根的形式，将一个累加式变成一个累乘式，用到一次类比推理；现时观察两边x2的系数得到结论，又用到一次类比，故难较大．