Question

已知双曲线过点（3，-2），且与椭圆4x²+9y²=36有相同的焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程
（3）求双曲线的左准线与抛物线围成的面积．

Answer 1

分析：（1）设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）．利用椭圆的方程可得c=

9-4

=

5

．l利用题意可得

a2+b2=5 9 a2 - 4 b2 =1

，解得即可；
（2）设抛物线的标准方程为y²=-2px，由双曲线的标准方程可得其右准线方程为x=

a2

c

=

3

5

=

p

2

．解出p即可得出；
（3）利用微积分基本定理可得S=2

∫

0 - 3 5

- 12 5 5 x

dx，解出即可．

解答：解：（1）设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）
由椭圆4x²+9y²=36化为

x2

9

+

y2

4

=1，∴c=

9-4

=

5

．
由题意可得

a2+b2=5 9 a2 - 4 b2 =1

，解得

a2=3 b2=2

．
∴双曲线的方程为

x2

3

-

y2

2

=1；
（2）设抛物线的标准方程为y²=-2px．
由双曲线的标准方程可得其右准线方程为x=

a2

c

=

3

5

．
∴

3

5

=

p

2

，解得p=

6 5

5

．
∴抛物线的方程为y2=-

12 5

5

x；
（3）所求的面积S=2

∫

0 - 3 5

- 12 5 5 x

dx=2×

2

3

12 5 5

(-x)

3

2

|

0 - 3 5

=

24

5

．

点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质，微积分基本定理等是解题的关键．