Question

已知双曲线过点（3，-2），且与椭圆4x²+9y²=36有相同焦点，则双曲线的标准方程为

x2

3

-

y2

2

=1

．

Answer 1

分析：化椭圆方程为标准方程，求出椭圆的焦点，由此设出双曲线的标准方程，把点（3，-2）代入方程，联立a²+b²=c²即可求得a²，b²的值，则双曲线的方程可求．

解答：解：由4x²+9y²=36，得

x2

9

+

y2

4

=1，则c²=9-4=5，所以c=

5

．
所以椭圆的焦点为F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)．
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以可设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
因为双曲线过点（3，-2），所以

9

a2

-

4

b2

=1①
又a²+b²=5②，联立①②，解得：a²=3或a²=15（舍），b²=2．
所以双曲线的标准方程为

x2

3

-

y2

2

=1．
故答案为

x2

3

-

y2

2

=1．

点评：本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了利用代入法求圆锥曲线的方程，由焦点的位置设曲线标准方程是该题的关键，此题是中档题．