Question

已知双曲线过点（3，-2），且与椭圆4x²+9y²=36有相同的焦点．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；    
（Ⅱ）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析：（I）先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的定理求出a，b，c，从而求出双曲线的方程；
（II）由（1）得双曲线的右准线方程，从而求出p，这样就可求出抛物线的标准方程．

解答：解：（I）由椭圆方程得焦点F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，…（2分）
由条件可知，双曲线过点（3，-2）
根据双曲线定义，2a=|

(3+ 5 )2+22

-

(3- 5 )2+22

|=|

18+6 5

-

18+6 5

|=2

15

…（5分）
即得a=

3

，所以b=

2

…（7分）
双曲线方程为：

x2

3

-

y2

2

=1，…（9分）
（II）由（1）得双曲线的右准线方程为：x=

3 5

5

…（11分）
∴

p

2

=

3 5

5

…（13分）
从而可得抛物线的标准方程为：y2=-

12 5

5

x…（15分）

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，在求曲线方程的问题中，巧设方程，减少待定系数，是非常重要的方法技巧．特别是具有公共焦点的两种曲线，它们的公共点同时具有这两种曲线的性质，解题时要充分注意．