Question

设函数，；，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求函数的最大值；

（3）求证：

 

Answer 1

（1）的定义域为，， 1分

令，

ⅰ）当时： 的增区间为；

ⅱ）当时：的减区间为；的增区间为.

（2）当时， 在上的最大值为.

（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）的定义域为，，

分类讨论如下：

ⅰ）当时：

在区间上，恒成立，故的增区间为；

ⅱ）当时：

在区间上，恒成立，故的减区间为；

在区间上，恒成立，故的增区间为.

（2）令，，则，利用“表解法”确定函数的最值.

表：

	递减	极小值	递增

 

（3）由（1）可知:当a=1时，

转化

由（2）已证:

得证.

试题解析：（1）的定义域为，， 1分

令，

ⅰ）当时：

在区间上，恒成立，故的增区间为； 2分

ⅱ）当时：

在区间上，恒成立，故的减区间为； 3分

在区间上，恒成立，故的增区间为. 4分

（2）ⅰ）时，，所以； 5分

ⅱ）时，易知，于是：，，

由（1）可知， 下证，即证明不等式在上恒成立.

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，若，则，故

，即当时，，从而，故当时，恒成立，即. 7分

（法二）令，，则，列表如下：

表：

	递减	极小值	递增

 

由表2可知：当时，，

故恒成立，即. 7分

由于，且，故函数区间内必存在零点. 8分

又当时，，指数函数为增函数为增函数，

同理当时，，指数函数为减函数也为增函数，

于是，当时， 必为增函数，

从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，

易知当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

又易知，故；

综上，当时， 在上的最大值为. 10分

（3）由（1）可知:当a=1时，

12分

由（2）已证:

故得证 14分

考点：1.应用导数研究函数的单调性；2.应用导数研究函数的单调性、极(最)值，3.应用导数证明不等式4.转化与化归思想.