Question

给出下列四个命题：
①函数y=sin（2x-

π

3

）的图象可由函数y=sin 2x的图象向右平移

π

3

个单位得到；
②函数y=lg x-sin 2x的零点个数为5；
③在锐角△ABC中，sin A+sin B+sin C＞cos A+cos B+cos C；
④“等比数列{a_n}是递增数列”的一个充分不必要条件是“公比q＞1”
其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：根据三角函数的平移变换，函数零点概念以及结合图形的方法，锐角三角形中两锐角的和大于

π

2

，以及等比数列在公比q＞1时的增减性即可判断每个命题的正误，从而找出正确命题的序号．

解答： 解：①要由sin2x得到sin（2x-

π

3

）=sin2（x-

π

6

），应将sin2x的图象向右平移

π

6

个单位，∴①错误；
②令lgx-sin2x=0得lgx=sin2x，∴原函数零点个数便是函数lgx和函数sin2x交点个数，所以作lgx与sin2x图象如下：
lgx图象经过（1，0），（10，1），所以由图象可以看出在x=1和x=10之间有5个交点；
∴原函数有5个零点，所以②正确；
③∵△ABC是锐角三角形，所以：A+B＞

π

2

，B+C＞

π

2

，C+A＞

π

2

；
∴A＞

π

2

-B，且A，

π

2

-B∈(0，

π

2

)；
所以sinA＞sin(

π

2

-B)，即sinA＞cosB；
同理sinB＞cosC，sinC＞cosA；
∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC，即③正确；
④公比q＞1不一定得到等比数列{a_n}是等比数列，比如等比数列：-1，-2，-2²，-2³，…；
该数列是首项为-1，公比为2的等比数列，显然是递减数列，所以④错误；
∴正确命题的序号是：②③．
故答案为：②③．

点评：考查三角函数的平移变换：注意平移的单位数要看x的变化，函数零点的概念，以及通过图象求两函数图象交点个数的方法，以及在q＞1时等比数列的增减性．