Question

四面体ABCD中，面ABC与面BCD成60⁰的二面角，顶点A在面BCD上的射影H是△BCD的垂心，G是△ABC的重心，若AH=4，AB=AC，则GH=

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：根据题意，画出图形，结合图形，把GH放在三角形中，借助于三角形的边角关系，即可求出它的大小来．

解答： 解：连结AG，并延长交BC于M，连结DM，如图所示；
则AM是△ABC的中线，
∵AB=AC，∴AM⊥BC，
连结HM，则HM是AM在平面BCD上的射影；
∴根据三垂线逆定理，BC⊥HM，
∵H是△BCD的垂心，
∴GM在BC边上的高线DH上，即DM是BC边上的高，
∴DM是BC的垂直平分线，DB=DC，
∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，
∴∠AMD=60°，

AH

AM

=sin60°，
AM=

8 3

3

，
MH=

AM

2

=

4 3

3

，
在△AMH上作GN∥AH，交MH于N，
根据三角形平行比例线段性质，

GN

AH

=

MG

MA

，
根据三角形重心的性质，

MG

AM

=

1

3

，
∵△MNG∽△MHA，
∴

GN

AH

=

1

3

，
∴GN=

4

3

，
同理，

MN

MH

=

1

3

，
∴MN=

1

3

•

4 3

3

=

4 3

9

，
∴NH=MH-MN=

4 3

3

-

4 3

9

=

8 3

9

，
在Rt△GNH中根据勾股定理，
GH²=GN²+NH²，
∴GH²=(

4

3

)2+(

8 3

9

)2=

336

81

∴GH=

4 21

9

．
故答案为：

4

9

21

．

点评：本题考查了空间中的两点间的距离的求法问题，解题时应画出图形，结合图形，把两点间的距离放在三角形中，利用边角关系进行解答，是难题．