Question

2．过点（$\sqrt{2}$，0）引直线l与曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率-1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值．

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，得
x²+y²=1（y≥0）
∴曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合
则-1＜k＜0
∴直线l的方程为：y-0=k（x-$\sqrt{2}$）
即kx-y-$\sqrt{2}$k=0
则圆心O到直线l的距离d=$\frac{|-\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|
=$\frac{1}{2}$$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{2{k}^{2}（1-{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{-4}{（1+{k}^{2}）^{2}}+\frac{6}{1+{k}^{2}}-2}$，
令$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=t
则S_△AOB=$\sqrt{-4{t}^{2}+6t-2}$
当t=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$时
S_△AOB有最大值为$\frac{1}{2}$
此时，$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
又∵-1＜k＜0
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．