Question

9．已知关于x的不等式（4kx-k²-12k-9）（2x-11）＞0，其中k∈R；
（1）试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．

Answer 1

分析 （1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．
（2）根据B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．

解答 解：（1）①当k＜0，A={x|$\frac{k}{4}+\frac{9}{4k}+3＜x＜\frac{11}{2}$}；
②当k=0，A={x|x$＜\frac{11}{2}$}；
③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x$＜\frac{11}{2}$，或x＞$\frac{k}{4}+\frac{9}{4k}+3$}；
④当1≤k≤9，A={x|x＜$\frac{k}{4}+\frac{9}{4k}+3$，或x＞$\frac{11}{2}$}；
（2）B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，
只有k＜0，且$\frac{k}{4}+\frac{9}{4k}$≥-2，解得$-4-\sqrt{7}$≤k≤-4+$\sqrt{7}$，
可得：B={2，3，4，5}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．