题目内容

20．已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：
①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．
②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．
③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2-x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．
④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．
其中是真命题的序号是①③④．（写出所有满足条件的命题序号）

分析 令t=f（x），利用换元法，可得①为真命题；当f（x）=-x时，f[f（x）]=-f（x）=x任意x∈R都成立，可得②为假命题；
③利用反证法证明，假设存在实数x0，利用题设来证明命题成立；显而易见，④为真命题；

解答 解：①令t=f（x），则对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化为：f（t）=t，
即f（x）=x，故①为真命题；
②令$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$，显然能满足题设条件，当x≠0，有f（x）=$\frac{1}{x}$，不满足结论；
故②为假命题；
③假设存在实数x0，
∵f（x0）=a，f（g（a））=a；
∴g（a）=x0；
g（f（x0））=${x}_{0}^{2}$-x0+1；
=[g（a）]2-g（a）+1；
 而f（g（a））=a，
∴命题成立；
故③正确；
④∵$\left\{\begin{array}{l}{f[g（{x}_{0}）]={x}_{0}}\\{f[g（{y}_{0}）]={y}_{0}}\end{array}\right.$，g（x0）=g（y0）；
∴x0=y0；
故④正确；
故答案为：①③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的定义域和值域，存在性问题，难度中档．

练习册系列答案
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其中所有真命题的序号是③④⑤⑦．
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数学888311792108100112
物理949110896104101106
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