Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．
（1）证明：AC⊥DE；
（2）若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小为60°，求PD：AD的值．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥AC，从而AD⊥平面PBD，由此能证明AC⊥DE．
（2）连结OE，以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD：AD．

解答 证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又四边形ABCD是菱形，BD⊥AC，且PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∴AC⊥DE．
解：（2）连结OE，∵PD∥平面EAC，∴PD∥OE，
∴OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，
以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设OB=m，OE=h，则OA=$\sqrt{3}m$，
∴A（$\sqrt{3}m，0，0$），B（0，m，0），E（0，0，h），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}m，m，0$），$\overrightarrow{BE}$=（0，-m，h），
向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面AEC的一个法向量，
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}mx+my=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-my+hz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}m}{h}$），
∵二面角B-AE-C的大小为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+3•\frac{{m}^{2}}{{h}^{2}}}}$=$\frac{1}{2}$，解得$\frac{h}{m}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴PD：AD=h：m=$\sqrt{6}：4$．

点评 本题考查空间位置关系的判断与证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．