题目内容
14．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；
（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．
分析 （1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；
（2）证明MN∥A1C1，利用 N是A1B的中点，可得结论．
解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA1⊥BC，
∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，
∴BC⊥平面A1AB，…（3分）
∵AN?平面A1AB，
∴AN⊥BC，
∵AA1=AB，且 N是A1B的中点，
∴AN⊥A1B，
∵A1B∩BC=B，
∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）
（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，
∴MN∥A1C1，
∵N是A1B的中点，
∴M是BC1的中点…（14分）
点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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