Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=

1

2

PA，O，E，F分别是AC，PC，BC的中点，且OP⊥平面ABC．
（1）求证：OE∥平面PAB；
（2）求证：BC⊥平面PFO；
（3）设直线OE与平面PBC所成角为α，求sinα．

Answer 1

分析：（1）直接根据O，E分别是AC，PC的中点得到OE∥PA；即可得到OE∥平面PAB；
（2）先根据中线得到OF∥AB推出OF⊥BC；再结合OP⊥平面ABC得到OP⊥BC即可得到BC⊥平面PFO；
（3）先由BC⊥平面PFO得到平面PBC⊥平面PFO，再作OH⊥PF与H，连EH，即可得∠OEH就是直线OE与平面PBC所成角；然后通过求三角形的边长即可求出结论．

解答：证：（1）：∵O，E分别是AC，PC的中点，
∴OE∥PA；
又OE不在平面PAB内，PA?平面PAB，
∴OE∥平面PAB．
（2）：∵O，F分别是AC，BC的中点
∴OF∥AB，
又∵∠ABC=90°，
∴OF⊥BC，
∵OP⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴OP⊥BC，又OF∩OP=O
∴BC⊥平面PFO
（3）：由（2）知BC⊥平面PFO，
BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PFO，
作OH⊥PF与H，连EH，
∵平面PBC∩平面PFO=PF，
∴OH⊥平面PBC，
∴∠OEH就是直线OE与平面PBC所成角，即为α．
不妨设PA=4，得OE=

1

2

PA=2．
在RT△POF中，PO=

14

，OF=1，PF=

15

．
∴OH=

PO•OF

PF

=

14

15

．
∴sinα=

OH

OE

=

210

30

．

点评：本题主要考察线面角的求法以及线面平行以及垂直的证明．一般在证明线面平行时，常先证线线平行．