如图.已知椭圆C的中心为原点O.F为C的左焦点.P为C上一点.满足|OP|=|OF|且|PF|=4.则椭圆C的方程为( )A．$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1B．$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1C．$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．

如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（-2$\sqrt{5}$，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（　　）

A．

$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1

B．

$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1

C．

$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1

D．

$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1

分析设椭圆的右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a²；由b²=a²-c²，得b²；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．

解答解：由题意可得c=2$\sqrt{5}$，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=$\sqrt{{FF′}^{2}{-PF}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{-4}^{2}}$=8，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a²=36，
于是 b²=a²-c²=36-${（2\sqrt{5}）}^{2}$=16，
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故选：C．

点评本题属容易题，主要考查了椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定a²，b²，属于中档题．

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