Question

4．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2mx²+n（m，n，x∈R）图象上任意两点A（x₁．y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂），满足f（x₁）-f（x₂）＜3x₁-3x₂+x₁²-x₂²，则实数m的取值范围是[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意得$\frac{1}{3}$x₂³-2mx₂²+3x₂+x₂²＜$\frac{1}{3}$x₁³-2mx₁²+3x₁+x₁²，从而转化为证明g（x）=$\frac{1}{3}$x³-（2m-1）x²+3x在R上是增函数，求导解出即可．

解答 解：由题意得，
f（x₁）=-$\frac{1}{3}$x₁³+2mx₁²+n，f（x₂）=-$\frac{1}{3}$x₂³+2mx₂²+n，
则（-$\frac{1}{3}$x₁³+2mx₁²+n）-（-$\frac{1}{3}$x₂³+2mx₂²+n）＜3x₁-3x₂+x₁²-+x₂²，
则$\frac{1}{3}$x₂³-2mx₂²+3x₂+x₂²＜$\frac{1}{3}$x₁³-2mx₁²+3x₁+x₁²，
即$\frac{1}{3}$x₂³-（2m-1）x₂²+3x₂＜$\frac{1}{3}$x₁³-（2m-1）x₁²+3x₁，
故g（x）=$\frac{1}{3}$x³-（2m-1）x²+3x在R上是增函数，
g′（x）=x²-2（2m-1）x+3，
故△=4（2m-1）²-4×1×3≤0，
解得，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$≤m≤$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性的应用及导数的综合应用．