Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（m＞n＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且有一个焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（m＞n＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，可得$\frac{m-n}{m}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，所以4n=3m，利用焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，求出m，n，即可求出椭圆的短轴长．

解答 解：由已知得$\frac{m-n}{m}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，所以4n=3m，
因为抛物线y²=16x的焦点为（4，0），而椭圆的右焦点为（c，0），
所以c=4，得m-n=4²=16，解得m=64，n=48，
所以椭圆的短轴长为2$\sqrt{n}$=2$\sqrt{48}$=8$\sqrt{3}$．
故答案为：8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆、抛物线的性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．