Question

已知为函数图象上一点，为坐标原点。记直线的斜率．

（1）同学甲发现：点从左向右运动时，不断增大，试问：他的判断是否正确?若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的判断；

（2）求证：当时，；

（3）同学乙发现：总存在正实数、，使．试问：他的判断是否正确?

Answer 1

 （1）同学甲的判断不正确

依题意，=，，

当时，>0；当时，<0

所以，在上递增，在上递减                               

（2）（法一）,记，

，

所以在（1，+）上为减函数，则，

所以，即                                    

   （法二）要证<,即要证（*）

记=，有，且，

记，有

当时，，在（1，+）上递减，则<,

所以<0,则在（1，+）上递减，有<=0

即（*）式得证                                                       

（3）同学乙的判断正确

，且，又由（2）

当时，，则的图象如右图所示

所以总存在正实数且，使得即

，也即为，此时