Question

14．变式训练：已知函数f（x）=e^x-$\frac{2}{x}$+1．求证：
（1）函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负实数限．

Answer 1

分析 （1）首先，任意设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后，作差比较它们函数值的大小，从而确定其单调性；
（2）可以设函数y=e^x与函数y=$\frac{2}{x}$-1．它们在同一坐标系下的图象，然后，结合图象证明即可．

解答 解：（1）任意设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）
=${e}^{{x}_{1}}-\frac{2}{{x}_{1}}+1$-${e}^{{x}_{2}}+\frac{2}{{x}_{2}}-1$
=${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$+$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜${e}^{{x}_{1}}＜{e}^{{x}_{2}}$，x₁-x₂＜0，
∴${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$+$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）∵函数f（x）=e^x-$\frac{2}{x}$+1．
∴方程f（x）=0，即
e^x-$\frac{2}{x}$+1=0，
∴e^x=$\frac{2}{x}$-1．
可以设函数y=e^x与函数y=$\frac{2}{x}$-1．它们在同一坐标系下的图象如下图所示：

显然，没有负实数根．

点评 本题重点考查了函数的单调性的证明，函数的图象等知识，属于中档题．