Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N^•，有a_p+q=a_p+a_q．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：a_n=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{{b}_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+（-1）^n-1$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$（n∈N^•），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，可得a_n+1-a_n=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{{b}_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+（-1）^n-1$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$（n∈N^•），知a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{{b}_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+$（-1）^{n-2}\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$（n≥2），
两式作差可得（-1）^n-1$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$=2（n≥2），即b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）．

解答 解：（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列，
则a_n=2n；
（2）∵a_n=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{{b}_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+（-1）^n-1$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$（n∈N^•），①
∴a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-$\frac{{b}_{4}}{{2}^{4}+1}$+…+$（-1）^{n-2}\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$（n≥2），②
①-②得：（-1）^n-1$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$=2（n≥2），
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）．
当n=1时，${a}_{1}=\frac{{b}_{1}}{3}$，∴b₁=6满足上式，
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）．

点评 本题考查数列递推式，考查了运用特值法确定数列为等差数列，训练了作差法求数列的通项公式，属于中档题．