Question

5．设已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{4}{x}$+a，a∈R，
（Ⅰ）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）
（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据题意，分a≤1，1＜a≤2，2＜a≤4，a＞4四种情况讨论，从而根据分段函数及对勾函数的单调性判断函数的单调性，从而求最大值即可；
（II）化简函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈（{-∞，a}]\\ x-\frac{4}{x}，x∈（{a，+∞}）\end{array}\right.$，从而不妨设f（x）=3的3个根为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，从而讨论以确定a的值．

解答 解：（I）①当a≤1时，$f（x）=x-\frac{4}{x}$在[1，4]单调递增，
∴f（x）_max=f（4）=3；
②当1＜a≤2时，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈[{1，a}）\\ x-\frac{4}{x}，x∈[{a，4}]\end{array}\right.$在[1，a]上单调递增，[a，4]上单调递增，
∴f（x）_max=f（4）=3；
③当2＜a≤4时，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈[{1，a}）\\ x-\frac{4}{x}，x∈[{a，4}]\end{array}\right.$在[1，2]上单调递增，[2，a]上单调递减，[a，4]上单调递增，
∴f（x）_max=max{f（2），f（4）}=$\left\{\begin{array}{l}{3，a∈[2，\frac{7}{2}]}\\{2a-4，a∈（\frac{7}{2}，4]}\end{array}\right.$；
④当a＞4时，f（x）=2a-x-$\frac{4}{x}$在[1，2]上单调递增，[2，4]上单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=2a-4；
综上所述M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3，a∈[2，\frac{7}{2}]}\\{2a-4，a∈（\frac{7}{2}，4]}\end{array}\right.$；
（II）函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-x-\frac{4}{x}，x∈（{-∞，a}]\\ x-\frac{4}{x}，x∈（{a，+∞}）\end{array}\right.$，
不妨设f（x）=3的3个根为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃
当x＞a时，f（x）=3，解得x=-1，x=4；
①a≤-1，∵x₂=-1，x₃=4，∴x₁=-6，
由f（-6）=3，解得$a=-\frac{11}{6}$，满足f（x）=3在（-∞，a]上有一解．
②-1＜a≤4，f（x）=3在（-∞，a]上有两个不同的解，不妨设x₁，x₂，其中x₃=4，
所以有x₁，x₂是$2a-x-\frac{1}{x}=3$的两个解，
即x₁，x₂是x²-（2a-3）x+4=0的两个解．
得到$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2a-3\\{x_1}•{x_2}=4\end{array}\right.$，
又由设f（x）=3的3个根为x₁，x₂，x₃成差数列，且x₁＜x₂＜x₃，得到2x₂=x₁+4，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2\sqrt{3}-2\\{x_2}=1+\sqrt{3}\\ a=1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-2\sqrt{3}-2\\{x_2}=1-\sqrt{3}\\ a=1-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$（舍去）；
③a＞4，f（x）=3最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，$a=-\frac{11}{6}$或$a=1+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了对勾函数的性质应用．