题目内容

已知向量
a
=(4cos
π
3
，1)，
b
=(sin(x+
π
6
)，-1)，f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间[-
π
6
，
π
6
]上的最大值和最小值．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为sin（x+
π
6
）-1，由-
π
2
+2kπ≤x+
π
6
≤
π
2
+2kπ求得x的范围，即可求得f（x）的单调增区间．
（2）由（1）知f（x）在[-
π
6
，
π
6
]上递增，由此求得f（x）在区间[-
π
6
，
π
6
]上的最大值和最小值．
解答：解：（1）f(x)=
a
•
b
=(2，1)•(sin(x+
π
6
)，-1)=2sin(x+
π
6
)-1．…2′
由-
π
2
+2kπ≤x+
π
6
≤
π
2
+2kπ得：2kπ-
2π
3
≤x≤2kπ+
π
3
，（k∈z）．
∴f（x）的单调增区间是[2kπ-
2π
3
，2kπ+
π
3
]（k∈z）．…6′
（2）由（1）知f（x）在[-
π
6
，
π
6
]上递增，∴当x=-
π
6
时，f（x）取得最小值-1；
当x=
π
6
时，f（x）取得最大值2sin
π
3
-1=
3
-1．…12′
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的定义域和值域以及单调性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1）．
（1）当
a
∥
b
时，求cos2x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（
a
+
b
）-
b
，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=
3
，b=2，sinB=
6
3
，求 f（x）+4cos（2A+
π
6
）（x∈[0，
π
3
]）的取值范围．
已知向量
a
=（sin（α+
π
6
），1），
b
=（4，4cosα-
3
），若
a
⊥
b
，则sin（α+
4π
3
）等于（　　）
已知向量
a
=(4cosα ， sinα)，
b
=(sinβ ， 4cosβ)，
c
=(cosβ ， -4sinβ)
（1）若
a
⊥（
b
-2
c
），求tan（α+β）的值；
（2）若
a
∥
b
，求tanαtanβ的值．
已知向量
a
=(4cos
π
3
，1)，
b
=(sin(x+
π
6
)，-1)，f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间[-
π
6
，
π
6
]上的最大值和最小值．

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