题目内容
已知向量
=(4cosα ， sinα)，
=(sinβ ， 4cosβ)，
=(cosβ ， -4sinβ)
（1）若
⊥（
-2
），求tan（α+β）的值；
（2）若
∥
，求tanαtanβ的值．
| a |
| b |
| c |
（1）若
| a |
| b |
| c |
（2）若
| a |
| b |
分析：（1）由题意可得
-2
=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），进而可得4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，由三角函数的定义即可得结果；（2）由向量平行的充要条件
可得4cosα×4cosβ-sinαsinβ=0，由三角函数的公式可得tanαtanβ=
•
，化简即可．
| b |
| c |
可得4cosα×4cosβ-sinαsinβ=0，由三角函数的公式可得tanαtanβ=
| sinα |
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
解答：解：（1）由题意可得
-2
=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
∵
⊥(
-2
)，∴
•(
-2
)=0，
即4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化简得：4cosαsinβ+4sinαcosβ-8cosαcosβ+8sinαsinβ=0，
即4sin（α+β）=8cos（α+β），
∴tan（α+β）=
=2；
（2）由
∥
可得4cosα×4cosβ-sinαsinβ=0，
即tanαtanβ=
•
=16
| b |
| c |
∵
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
即4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化简得：4cosαsinβ+4sinαcosβ-8cosαcosβ+8sinαsinβ=0，
即4sin（α+β）=8cos（α+β），
∴tan（α+β）=
| sin(α+β) |
| cos(α+β) |
（2）由
| a |
| b |
即tanαtanβ=
| sinα |
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
点评：本题考查三角函数的运算和向量的平行与垂直，记准公式是解决问题的关键，属中档题．
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