题目内容

已知向量
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1）．
（1）当
a
∥
b
时，求cos2x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（
a
+
b
）-
b
，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=
3
，b=2，sinB=
6
3
，求 f（x）+4cos（2A+
π
6
）（x∈[0，
π
3
]）的取值范围．
分析：（1）由
a
∥
b
可得
3
4
cosx+sinx=0，从而可求tanx，而cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
cos2x+sin2x

（2）由正弦定理得，
a
sinA
=
b
sinB
可得sinA=
2
2
 可求A=
π
4
代入可得f(x)=2(
a
+
b
)•
b
 =
2
sin(2x+
π
4
)+
3
2
，结合已知x∈[0，
π
3
]可求函数的值域
解答：解：（1）∵
a
∥
b

∴
3
4
cosx+sinx=0
∴tanx=-
3
4
（2分）
cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
1-2tanx
1+tan2x
=
8
5
（6分）
（2）f(x)=2(
a
+
b
)•
b
 =
2
sin(2x+
π
4
)+
3
2

由正弦定理得，
a
sinA
=
b
sinB
可得sinA=
2
2
 
所以A=
π
4
（9分）
f(x)+4cos(2A+
π
6
)=
2
sin(2x+
π
4
)-
1
2

∵x∈[0，
π
3
]∴2x+
π
4
∈[
π
4
，
11π
12
]
所以
3
2
-1≤f(x)+4cos(2A+
π
6
)≤
2
-
1
2
（12分）
点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，利用1=sin2x+cos2x的代换，求解含有sinx，cosx的齐次式，向量的数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的值域的求解．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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