Question

3．某学校组织的数学赛中，学生的竞赛成绩X服从正态分布X～N（100，σ²），P（X＞120）=a，P（80≤X≤100）=b，则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 由正态分布的知识可得a+b=$\frac{1}{2}$，代入利用基本不等式，即可求出$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：∵P（X＞120）=a，P（80≤X≤100）=b，P（X＞120）=$\frac{1-2P（80≤X≤100）}{2}$，
∴a+b=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=2（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥2（5+4）=18，
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{6}$时取等号，
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为18．
故选：D．

点评 本题主要考查正态分布知识，考查基本不等式的运用，确定a+b=$\frac{1}{2}$，正确利用基本不等式是关键，属于中档题．