Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2λsinx，sinx+cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，λ（sinx-cosx））（λ＞0）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最大值为2，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，化简f（x）=2λsin（2x-$\frac{π}{6}$），运用正弦函数的最值可得λ=1，运用正弦函数的减区间，解不等式即可得到所求区间．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（2λsinx，sinx+cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，λ（sinx-cosx）），
可得函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$λ（2sinxcosx）+λ（sinx+cosx）（sinx-cosx）
=$\sqrt{3}$λsin2x-λ（cos²x-sin²x）=$\sqrt{3}$λsin2x-λcos2x=2λ（sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$）
=2λsin（2x-$\frac{π}{6}$），
当sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1时，f（x）取得最大值2λ，
由题意可得2λ=2，即λ=1，即有f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即有f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的恒等变换和正弦函数的最值和单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．