Question

20．已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N两点．
（I）求k的取值范围：
（Ⅱ）$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12，其中O为坐标原点，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（Ⅱ）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=k（x-1），联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出M，N横纵坐标的积，结合$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12求出直线的斜率，得到直线方程，再由直线过圆心直接得答案．

解答 解：（Ⅰ）设过点A（1，0）的直线方程：y=k（x-1），即：kx-y-k=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由$\frac{|2k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得：k=$\frac{4}{3}$．
故当k＞$\frac{4}{3}$时，过点A（1，0）的直线与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=k（x-1），代入圆C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得（1+k²）x²-2（k²+3k+2）x+k²+6k+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+3k+2）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}+6k+12}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=${k}^{2}[\frac{{k}^{2}+6k+12}{1+{k}^{2}}-\frac{2{k}^{2}+6k+4}{1+{k}^{2}}+1]$=$\frac{9{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12，
得x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{10{k}^{2}+6k+12}{1+{k}^{2}}=12$，解得：k=0（舍）或k=3，
故直线l的方程为 y=3x-3．
∵圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径，
∴|MN|=2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力，是中档题．