Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈［0，］，都有f（x₁＋x₂）=f（x₁）·f（x₂），且f（1）=a＞0.

（1）求f（）及f（）；

（2）证明f（x）是周期函数；

（3）a_n=f（2n＋），求（lna_n）.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵x1，x2∈［0，］都有f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2）， ∴f（x）=f（）f（）≥0，x∈［0，1］ f（1）=f（+）=f（）·f（）=［f（）］2 f（）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]2，f（1）=a＞0， ∴． （2）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称， ∴f（x）=（1+1－x），f（x）=f（2－x） 又∵f（－x）=f（x），∴f（－x）=f（2－x），∴f（x）=f（2+x）， ∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期． （3）∵x∈［0，］满足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），I=2n（n∈Z） ∴f（x1＋2n+x2＋2n）=f（x1＋2n）·f（x2＋2n）， ∵x1，x2在［2n，＋2n］中也满足f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2） 又∵f（1）=f（1）·f（0），∴f（0）=1，∴f（2n）=1 又∵f（）=f2（），又∵f（）=a，∴f（）=a ∴an=f（2n）f（）=a，∴