Question

已知凼数f（x）=x²-ax+2
（1）若f（x）＞0解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a 的值；
（2）当x＞0时，求

f(x)

x

 的最小值；
（3）若f （x）＞1，解集为R，求实数a 的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件便知道方程x²-ax+2=0的两根为1，2，根据韦达定理即可求得a；
（2）求出

f(x)

x

=x+

2

x

-a，由x＞0，根据基本不等式即可得到

f(x)

x

≥2

2

-a，所以便可求出

f(x)

x

的最小值；
（3）根据已知条件容易得到x²-ax+1＞0的解集为R，所以判别式△=a²-4＜0，这样即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得：1+2=a；
即a=3；
（2）

f(x)

x

=x+

2

x

-a；
∵x＞0，∴x+

2

x

≥2

2

，当x=

2

时取“=”；
∴

f(x)

x

≥2

2

-a；
∴

f(x)

x

的最小值为2

2

-a；
（3）由f（x）＞1得：
x²-ax+1＞0；
该不等式的解集为R；
∴△=a²-4＜0；
∴-2＜a＜2；
∴实数a的取值范围为（-2，2）．

点评：考查一元二次不等式解和对应一元二次方程实数根的关系，韦达定理，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，以及一元二次不等式的解集为R时判别式△的取值情况．