题目内容
5.已知平面向量$\overrightarrowa$,$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2$,$|{\overrightarrow b}|=1$,$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$.则对于任意的实数m,$|{m\overrightarrow a+(2-4m)\overrightarrow b}|$的最小值为( )| A. | 2 | B. | 1 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
分析 根据$|\overrightarrow{a}|=2,|\overrightarrow{b}|=1,\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$进行数量积的运算可得到$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}=12{m}^{2}-12m+4$,而配方即可求得$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}≥1$,从而便可得出$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|$的最小值.
解答 解:根据条件:$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}={m}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$$+2m(2-4m)\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+(2-4m)^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$
=4m2+2m(2-4m)+(2-4m)2
=12m2-12m+4
=$12(m-\frac{1}{2})^{2}+1≥1$;
∴$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|≥1$;
∴$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|$的最小值为1.
故选B.
点评 考查向量数量积的运算及其计算公式,掌握本题要求$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|$的最小值,而求$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}$的范围的方法,不等式的性质,以及配方求二次函数最值的方法.
| A. | $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$ | B. | $y=±\frac{5}{3}x$ | C. | $y=±\frac{3}{5}x$ | D. | $y=±\sqrt{3}x$ |
| A. | P⊆Q | B. | Q⊆P | C. | P⊆∁RQ | D. | Q⊆∁RP |
| A. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| A. | {x|x≤2} | B. | {x|1≤x≤3} | C. | {x|2<x≤3} | D. | {x|2≤x≤3} |
p1:?(x,y)∈D,z≥1;p2:?(x,y)∈D,z≥1
p3:?(x,y)∈D,z≤2;p4:?(x,y)∈D,z<0
其中的真命题是( )
| A. | p1,p2 | B. | p1,p3 | C. | p1,p4 | D. | p2,p3 |