题目内容

5.已知平面向量$\overrightarrowa$,$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2$,$|{\overrightarrow b}|=1$,$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$.则对于任意的实数m,$|{m\overrightarrow a+(2-4m)\overrightarrow b}|$的最小值为(  )
A.2B.1C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$

分析 根据$|\overrightarrow{a}|=2,|\overrightarrow{b}|=1,\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$进行数量积的运算可得到$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}=12{m}^{2}-12m+4$,而配方即可求得$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}≥1$,从而便可得出$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|$的最小值.

解答 解:根据条件:$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}={m}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$$+2m(2-4m)\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+(2-4m)^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$
=4m2+2m(2-4m)+(2-4m)2
=12m2-12m+4
=$12(m-\frac{1}{2})^{2}+1≥1$;
∴$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|≥1$;
∴$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|$的最小值为1.
故选B.

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式,掌握本题要求$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}|$的最小值,而求$|m\overrightarrow{a}+(2-4m)\overrightarrow{b}{|}^{2}$的范围的方法,不等式的性质,以及配方求二次函数最值的方法.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网