题目内容

设0＜| $数学公式$ |≤2，函数f（x）=cos²x-| $数学公式$ |sinx-| $数学公式$ |的最大值0，最小值为-4，且 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为45°，求（ $数学公式$ + $数学公式$ ）²．

解：f（x）=cos²x-| $\text{[math]}$ |sinx-| $\text{[math]}$ |=-sin²x-| $\text{[math]}$ |sinx-| $\text{[math]}$ |+1=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -| $\text{[math]}$ |+1，
因为-1≤sinx≤1，0＜| $\text{[math]}$ |≤2?-1＜- $\text{[math]}$ ＜0，
所以当sinx=- $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最大值为 $\text{[math]}$ -| $\text{[math]}$ |+1，
当sinx=1时，f（x）取得最小值为-| $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |，
由题意得， $\text{[math]}$ -| $\text{[math]}$ |+1=0①，-| $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |=-4②，
联立①②解得| $\text{[math]}$ |=2，| $\text{[math]}$ |=2，
又 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为45°，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4+4+2×2×2cos45°=8+4 $\text{[math]}$ ．
分析：由已知f（x）可变形为：f（x）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -| $\text{[math]}$ |+1，根据-1≤sinx≤1，0＜| $\text{[math]}$ |≤2及二次函数性质可求出f（x）的最大值、最小值，令其分别为0，-4，可解出| $\text{[math]}$ |，| $\text{[math]}$ |，进而可求得 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值求解及向量的数量积运算，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．