Question

设α∈(0，

π

2

)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，有f(

x+y

2

)=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），则α=

 

，f(

1

2

)=

 

．

Answer 1

分析：（1）分别给x，y赋值0，1得到一个f（

1

2

）表达式；在给x，y分别赋值1，0得到f（

1

2

）的另一个表达式，列出方程求出f（

1

2

）．
（2）由（1）中得到的sinα=

1

2

求出角α．

解答：解：（1）f（

1

2

）=f（

0+1

2

）
=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）
=1-sinα
又f（

1

2

）=f（

1+0

2

）
=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）
=sinα
所以1-sinα=sinα   解得  sinα=

1

2

故f（

1

2

）=sinα=

1

2

（2）由（1）知sinα=

1

2

又a∈（0，

π

2

）
所以a=

π

6

故答案为：

π

6

；

1

2

点评：本题考查通过赋值的方法解决抽象函数的函数值问题．