Question

设α∈(0，

π

2

)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）求f（

1

2

），f（

1

4

）；
（2）求α的值；
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据f（

1

2

）=f（

1+0

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0），运算求得结果，再根据f（

1

4

）=f（

1 2 +0

2

）=f（

1

2

）sinα+（1-sinα）f（0），运算求得结果．
（2）求出f（

3

4

）=f（

1+ 1 2

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（

1

2

）=2sinα-sin²α．同理求得f（

1

2

）=3sin²α-2sin³α，再由sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α的值，从而求得α的值．
（3）化简函数g（x）=sin（α-2x）=-sin（2x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到g（x）的减区间．令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
求得x的范围，即可得到g（x）的增区间．

解答：解：（1）f（

1

2

）=f（

1+0

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sin α．
f（

1

4

）=f（

1 2 +0

2

）=f（

1

2

）sinα+（1-sinα）f（0）=sin²α．
（2）∵f（

3

4

）=f（

1+ 1 2

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（

1

2

）=sinα+（1-sinα）sinα=2sinα-sin²α．
f（

1

2

）=f（

3 4 + 1 4

2

）=f（

3

4

）sinα+（1-sinα）f（

1

4

）=（2sinα-sin²α ）sinα+（1-sinα）sin²α=3sin²α-2sin³α，
∴sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=

1

2

．
∵α∈(0，

π

2

)，∴sin α=

1

2

，α=

π

6

．
（3）函数g（x）=sin（α-2x）=sin（

π

6

-2x）=-sin（2x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函数g（x）的减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
 令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，故函数g（x）的增区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，复合三角函数的单调性，属于中档题．